Всего: 10 1–10
Добавить в вариант
Три одинаковых конуса с вершиной A касаются друг друга внешним образом. Каждый из них касается внутренним образом четвертого конуса с вершиной в точке A и углом при вершине 
Найдите угол при вершине у одинаковых конусов. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
и, значит, эти точки лежат на некотором шаре с центром O радиуса R, вписанном в четвертый конус. Этот шар касается шаров, вписанных в одинаковые конусы (так как, например, шары с центрами в O и O1 касаются в точке B плоскости, содержащей образующую AB и касающейся четвертого конуса). Поэтому точки O1, O2, O3 лежат на отрезках OB, OC, OD соответственно. Тогда 
Значит, прямая AO проходит через центр H описанной окружности треугольника O1O2O3 перпендикулярно к его плоскости. Заметим, что этот треугольник правильный и 
откуда 
С другой стороны, 
На столе лежат два шара радиусов 4 и 1 с центрами O1 и O2, касаясь друг друг внешним образом. Конус касается боковой поверхностью стола и обоих шаров (внешним образом). Вершина C конуса находится на отрезке, соединяющем точки касания шаров со столом. Известно, что лучи CO1 и CO2 образуют равные углы со столом. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Заметим, что точки O1, O2, A1, A2, C лежат в одной плоскости, поскольку O1A1 и O2A2 параллельны, а C принадлежит отрезку A1A2. Тогда 
Отметим несколько простых фактов. 
откуда 
и из 3) вытекает, что 
Поэтому 
Две правильные треугольные пирамиды имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса r. Третий шар радиуса R касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите плоский угол при вершине пирамид, если R : r = 2 : 1.
Пусть M — точка касания с гранью ASB шара, вписанного в первую пирамиду. В этой же точке касается ASB и внешний шар. Поэтому точка M лежит на отрезке OO1, причем 
Аналогично получается, что 
Выберем точку N на отрезке OK так, что отрезок NM перпендикулярен OO1, и положим 
(см. верхний рисунок). Тогда 
откуда 
—
и 
Опустим из точек A и C перпендикуляры на ребро BS. Они придут в одну точку L, так как треугольники ASB и BSC равны. По доказанному 
Заметим, что 
Даны две правильные четырехугольные пирамиды с плоским углом при вершине 
Они имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса r. Третий шар радиуса R касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите отношение R к r.
Заметим, что 
Даны две шестиугольные пирамиды и одна треугольная, причем боковые грани всех пирамид одинаковы. Пирамиды удалось склеить внешним образом «без зазоров», то есть так, что любые две пирамиды имеют общую грань. Найдите плоский угол при вершине пирамид.
и ψ. Ввиду отсутствия «зазоров» 
откуда 
O —
так как треугольники ASB и BSC равны. 
Тогда по теореме косинусов 
Десятигранник ABCDPQRSTUVW имеет два параллельных друг другу основания: квадрат ABCD и восьмиугольник PQRSTUVW, все углы которого равны между собой, а также восемь боковых граней: треугольники APQ, BRS, CTU, DVW и прямоугольники DAPW, ABRO, BCTS и CDVU. Известно, что площадь сечения этого десятигранника плоскостью, проходящей через точки A, S и U, равна 
Найдите расстояние между его основаниями.
Из этого вытекает, что прямые ST и WP параллельны, прямые QR и UV параллельны, прямые QR и ST перпендикулярны.
и учитывая, что 
и 
имеем 
Итак, 
то есть 
Затем, из подобия треугольников RKE и B1A1E находим 
Из треугольника UB1S получаем 
Далее, из подобия треугольников MPA1 и MWG1 вытекает 
после чего, из подобия треугольников LWZ и LVU получаем 
а угол A1HA (так как 
будет углом β между плоскостью сечения и плоскостью основания PQRSTUVW. Тогда, если обозначить искомое расстояние (длину отрезка AA1) за h, то, с одной стороны, 
находим 
Тогда 
Векторы, идущие по медианам, равны
и 
переписываются в терминах скалярного произведения: 
и 
Раскрыв скобки и вычтя из первого равенства второе, получим: 
т. е. 
Это и, значит, что векторы 
и 
перпендикулярны.Три конуса с вершиной A касаются друг друга внешним образом, причем первые два из них одинаковы, а у третьего угол при вершине равен 
Каждый из конусов касается внутренним образом четвертого конуса с вершиной в точке A и углом при вершине 
Найдите угол при вершине у первых двух конусов. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
и 
Впишем в первые три конуса пары с центрами O1, O2, O3, касающиеся друг друга. Касательные, проведенные из А ко всем шарам, имеют одинаковую длину, поскольку любая пара шаров имеет общую касательную. Пусть четвертый конус касается этих шаров в точках B, C, D. Тогда 
Пусть H как медианы равнобедренных треугольников O1O2A, O1O2O и O1O2O3. Поэтому точки A, O3, O3 лежат в плоскости, проходящей через точку H перпендикулярно O1H. В частности, отрезки AO и AO3 перпендикулярны отрезку O1H. Значит, точки H и O1 имеют одинаковые проекции как на прямую АО, так и на прямую А3 (обозначим эти проекции через E и F соответственно). Отсюда 
как касательные к шару с центром в O1. Поэтому 
мы получим 
и из второго уравнения системы 
Боковые ребра TA, TB, и TC тетраэдра TABC попарно перпендикулярны, ребро TA наклонено к плоскости основания ABC под углом 30°. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, косинус угла AHB равен 
Найдите угол между ребром TC плоскостью ABC.
Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, угол AHB равен 
Докажем, что 
и 
то 
Проведём прямую через точку A1 параллельно AE. Она пересекает продолжение ребра BB1 в точке F, причем 
тогда
и 
